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ECUACIONES
GEODESICAS Y RELATIVIDAD NUMERICA |
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El movimiento de una
partícula libre es determinado en la teoría especial de
la relatividad del principio de la mínima acción de
acuerdo a lo cual la partícula se mueve en su línea de
mundo entre un par de puntos.
En Relatividad general la curvatura del espacio es caracterizado por un conjunto de ecuaciones
diferenciales que son llamadas geodésicas, estas
determinan como la luz o cualquier objeto en caída libre se
mueve en presencia de un campo gravitacional y son escritas como [1]
.
Estas ecuaciones diferenciales tiene la misma forma que las ecuaciones
de movimiento
donde los símbolos de Christoffel representan la
geometría del espacio, y de donde se deduce que el movimiento de
la partícula queda determinado por estas cantidades. Existen
cuatro ecuaciones diferenciales para las cuatro funciones . La curvatura del espacio
tiempo puede medirse si se observa la desviación
geodésica de dos partículas de prueba en caída
libre. Como en las ecuaciones de las geodésicas
interviene la información acerca de la curvatura mediante los
símbolos de Christoffel , para resolver las ecuaciones de
movimiento hay que conocer el espacio- tiempo.
Para la primera solución de las ecuaciones de Einstein, la solución de
Schwarzschild, es bien sabido que las ecuaciones de las
geodésicas en este espacio pueden ser resueltas
analíticamente. La solución de Schwarzschild es una
solución en el vació con simetría esférica
de las ecuaciones de Einstein. Soluciones de las ecuaciones de Einstein
físicas conocidas además de la anterior podemos mencionar
a la
solución de Kerr que representa a un agujero negro
rotando en presencia de un campo gravitacional, a la solución de
Kerr-Newman que es un agujero negro cargado rotando y en
presencia de un campo gravitacional. Para teorías recientes
podemos mencionar las
soluciones de Einstein-Maxwell- Dilaton. En la mayor parte de
las soluciones se trabaja con análisis numérico para
resolver las ecuaciones diferenciales de las geodésicas. Ya que
entre mas parámetros intervengan mas difícil es encontrar
soluciones analíticas. Y algo muy interesante que se hace es
llevar a cabo simulaciones del movimiento de partículas e
inclusive de estrellas cerca de este tipo de objetos, con solo conocer
las ecuaciones de las geodésicas.
Es importante mencionar que hasta el día de hoy es imposible
llevar a cabo experimentos en la Tierra donde el campo
gravitacional sea bastante significativo como lo es cerca de un agujero
negro, pulsares o centros de galaxias, debido a que en
ningún laboratorio se pueden reproducir semejantes efectos
debidos al campo gravitacional. Es ahí donde es imprescindible
el uso de la programación y la simulación para seguir
avanzando en el conocimiento de lo que es el universo. Es donde
esperamos la parte importante de nuestra contribución ya que la
simulación numérica comprende desde el planteamiento de
un modelo matemático, que luego de un tratamiento
analítico, se debe de desarrollar un análisis
numérico riguroso del problema del cual depende la
visualización del comportamiento virtual de los diferentes
fenómenos físicos. Actualmente existen fuertes evidencias
de que agujeros negros existen pero aun su origen aunque se sospecha no
se entiende totalmente. Se cree que su formación es debida al
colapso de una estrella súper masiva o el colapso de clusters
relativistas etc. También recientemente se ha especulado mucho
con la existencia de campos escalares como posibles candidatos a formar
parte de materia obscura, que se cree que porque interactúan muy
débilmente con la materia un lugar para su detección sea
posiblemente cerca de un agujero negro. Soluciones donde el campo
escalar esta presente son conocidas por ejemplo se han dado
solución a las ecuaciones de movimiento de la siguiente
acción [1]
en donde es el determinante de la métrica , es el escalar de
curvatura, es el campo escalar es el campo de Maxwell y un
parámetro de acoplamiento. En el trabajo que se propone se
llevaran a cabo la solución numérica de las ecuaciones
geodésicas para esta acción así como la
simulación de ellas.
Referencias
[1] Hans
Stephani. General Relativity. An introduction to the theory of the
gravitational field. Second edition. Cambridge University Press.
[2] Tonatiuh Matos Darío Núñez, Maribel
Ríos Class of Einstein- Maxwell -Dilatons, an ansatz for new
families of rotating solutions. Class. Quantum Grav. 17(2000).
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