El movimiento de una partícula libre es determinado en la teoría especial de la relatividad del principio de la mínima acción de acuerdo a lo cual la partícula se mueve en su línea de mundo entre un par de puntos.
En Relatividad general la curvatura del espacio es caracterizado por un conjunto de ecuaciones diferenciales que son llamadas geodésicas, estas determinan como la luz o cualquier objeto en caída libre se mueve en presencia de un campo gravitacional y son escritas como [1] .
 


Estas ecuaciones diferenciales tiene la misma forma que las ecuaciones de movimiento



donde los símbolos de Christoffel representan la geometría del espacio, y de donde se deduce que el movimiento de la partícula queda determinado por estas cantidades. Existen cuatro ecuaciones diferenciales para las cuatro funciones . La curvatura del espacio tiempo puede medirse si se observa la desviación geodésica de dos partículas de prueba en caída libre. Como en las ecuaciones de las geodésicas interviene la información acerca de la curvatura mediante los símbolos de Christoffel , para resolver las ecuaciones de movimiento hay que conocer el espacio- tiempo.

Para la primera solución de las ecuaciones de Einstein, la solución de Schwarzschild, es bien sabido que las ecuaciones de las geodésicas en este espacio pueden ser resueltas analíticamente. La solución de Schwarzschild es una solución en el vació con simetría esférica de las ecuaciones de Einstein. Soluciones de las ecuaciones de Einstein físicas conocidas además de la anterior podemos mencionar a la solución de Kerr que representa a un agujero negro rotando en presencia de un campo gravitacional, a la solución de Kerr-Newman que es un agujero negro cargado rotando y en presencia de un campo gravitacional. Para teorías recientes podemos mencionar las soluciones de Einstein-Maxwell- Dilaton. En la mayor parte de las soluciones se trabaja con análisis numérico para resolver las ecuaciones diferenciales de las geodésicas. Ya que entre mas parámetros intervengan mas difícil es encontrar soluciones analíticas. Y algo muy interesante que se hace es llevar a cabo simulaciones del movimiento de partículas e inclusive de estrellas cerca de este tipo de objetos, con solo conocer las ecuaciones de las geodésicas.

Es importante mencionar que hasta el día de hoy es imposible llevar a cabo experimentos en la Tierra donde el campo gravitacional sea bastante significativo como lo es cerca de un agujero negro, pulsares o centros de galaxias,  debido a que en ningún laboratorio se pueden reproducir semejantes efectos debidos al campo gravitacional. Es ahí donde es imprescindible el uso de la programación y la simulación para seguir avanzando en el conocimiento de lo que es el universo. Es donde esperamos la parte importante de nuestra contribución ya que la simulación numérica comprende desde el planteamiento de un modelo matemático, que luego de un tratamiento analítico, se debe de desarrollar un análisis numérico riguroso del problema del cual depende la visualización del comportamiento virtual de los diferentes fenómenos físicos. Actualmente existen fuertes evidencias de que agujeros negros existen pero aun su origen aunque se sospecha no se entiende totalmente. Se cree que su formación es debida al colapso de una estrella súper masiva o el colapso de clusters relativistas etc. También recientemente se ha especulado mucho con la existencia de campos escalares como posibles candidatos a formar parte de materia obscura, que se cree que porque interactúan muy débilmente con la materia un lugar para su detección sea posiblemente cerca de un agujero negro. Soluciones donde el campo escalar esta presente son conocidas por ejemplo se han dado solución a las ecuaciones de movimiento de la siguiente acción [1]



en donde es el determinante de la métrica , es el escalar de curvatura, es el campo escalar es el campo de Maxwell y un parámetro de acoplamiento. En el trabajo que se propone se llevaran a cabo la solución numérica de las ecuaciones geodésicas para esta acción así como la simulación de ellas.


Referencias