Es un hecho bien
conocido [1-3] que, debido a que la gravitación es una
interacción de largo alcance, los sistemas autogravitantes
requieren una Mecánica Estadística especial y diferente a
sistemas dominados por interacciones de corto alcance [4], en los
cuales se suele modelar interacciones mediante colisiones (binarias,
elásticas, etc.) Mientras que para estos últimos sistemas
los ensambles microcanónico, canónico y
gran-canónico llevan a resultados equivalentes, en los cuales
tanto la entropía como la energía son cantidades
extensivas, en los sistemas auto-gravitantes en equilibrio
térmico y dinámico estas cantidades no pueden ser
extensivas debido a que la validez del teorema Virial exige que las
energías total, cinética y potencial estén
fuertemente constreñidas. Esto implica que estos sistemas deban
ser estudiados únicamente mediante el ensamble
microcanónico, el cual considera regiones del espacio de fase
(celdas microcanónica) que son lo suficientemente grandes como
para incluir muchas partículas, pero suficientemente
pequeñas como para que en cada celda los gradientes de todas las
cantidades macroscópicas (incluyendo entropía y
energía) sean despreciables. Como consecuencia de estas
restricciones, el calor especifico a lo largo del sistema (integrando
sobre las celdas) es negativo. Asimismo, estos sistemas no pueden
existir como configuraciones estables para ciertos valores de
parámetros (energías y radios) característicos.
Esta inestabilidad lleva a un núcleo "core" colapsado
coexistiendo con una región regular "halo" [1-3]. Esta
inestabilidad inherente, llamada "inestabilidad de Antonov"
o "catástrofe
gravitérmica", ha sido confirmada mediante simulaciones
numéricas [5-8].
Los sistemas
auto-gravitantes tienen otras propiedades especiales. Por ejemplo, un
gas de partículas sin colisiones produce efectos disipativos (lo
cual no sucede en sistemas de interacciones cortas). Esto se debe al
carácter de largo alcance de la gravedad, por lo que aun sin
colisiones existen procesos de relajamiento ya que las
partículas están correlacionadas aun sin colisiones
[1-3]. Bajo la aproximación de campo medio y gas diluido, en la
cual el espacio fase de N partículas es equivalente N copias del
espacio fase de una partícula, la Teoría Cinética
es aplicable. En dicha aproximación, se define como
configuración de equilibrio a aquella que maximiza la funcional
de la entropía. En estas condiciones y asumiendo solo
interacción gravitacional, esta configuración esta
caracterizada por la función de distribución de
Maxwell-Boltzmann, pero sujeta a las restricciones anteriormente
mencionadas debido a la virialización, por lo que tenemos
calores específicos negativos y parámetros
característicos asociados a la catástrofe
gravitérmica [1-3]. En este caso restrictivo, llegamos a
configuraciones esféricas que satisfacen la ecuación de
estado del gas ideal de Maxwell-Boltzmann (la esfera
isotérmica), las cuales han sido muy estudiadas [1-3]. Estas
distribuciones son demasiado idealizadas y solo corresponden a sistemas
astrofísicos (cúmulos globulares, galaxias, etc.) en
forma aproximada. Para distribuciones mas realistas, los sistemas
auto-gravitantes no pueden llegar a un estado de equilibrio definido en
términos de la extremización de a funcional de la
entropía, por lo que estos sistemas no tienen un "limite
termodinámico" bien definido (esto también surge por la
no extensividad de la entropía y la no-equivalencia entre los
ensambles).
Es posible estudiar sistemas auto-gravitantes dentro de la
Mecánica Estadística, tomando en cuanta las restricciones
mencionadas, sobre todo la no-extensividad de la entropía,
usando principalmente el ensamble micro-canónico. Muchos autores
[9-12] aun siguen este enfoque y es valido mencionar que el estudio de
estos sistemas es una área abierta a la investigación.
Recientemente ha surgido nuevas formulaciones dirigidas al tratamiento
de sistemas en los cuales la entropía y la energía no son
variables extensivas. La idea es proponer una funcional de la
entropía que incorpore de entrada la no extensividad mediante un
parámetro libre que en condiciones adecuadas se reduzca a la
funcional tradicional de Maxwell-Gibbs. El formalismo de este tipo que
más éxito ha tenido fue propuesto por el físico
brasileño Constantino
Tsallis [13] y ha sido aplicado a una gran variedad de sistemas
físicos, desde sistemas astrofísicos [14], Fisica Nuclear
[15] o finanzas [16]. La principal critica que se suele hacer a esta
formulación es que introduce un parámetro libre nuevo "q"
sin dar una forma explicita de como calcular los valores que este debe
tomar [17-18]. El mismo Tsallis [19] ha sugerido que el valor de "q"
esta relacionado con la dinámica microscópica fundamental
de los sistemas, pero aun falta una prescripción o una
indicación sobre como calcularlo. Diferentes autores que han
aplicado el formalismo hasta la fecha solamente han logrado dar rangos
de variación de este parámetro. El encontrar la
vinculación de "q" con la dinámica fundamental es un
área abierta en la investigación en Mecánica
Estadística.
En el caso de gases auto-gravitantes en la aproximación de campo
medio, la configuración que extremiza a la funcional de la
entropía de Tsallis es la llamada función de
distribución del "polítropo estelar", la cual se reduce a
la distribución de Maxwell-Boltzmann en el limite de variable
extensiva (cuando q tiende a 1) [20-23]. Este hecho es sumamente
interesante, puesto que las configuraciones que obedecen la
ecuación de estado poltrópica han sido muy estudiadas en
el contexto astrofísico. Dentro de la Mecánica
Estadística tradicional, esta ecuación de estado (los
"polítropos gaseosos") se aplica a gases de fermiones
degenerados en modelos estelares de diverso tipo: desde estrellas
regulares (secuencia principal), hasta enanas blancas o estrellas de
neutrones. En estos casos "q" tiene un valor bien definido, pero no
puede interpretarse como un parámetro que mide la
no-extensividad pues la entropía en los polítropos
gaseosos es extensiva. En el contexto de la Mecánica
Estadística de Tsallis, estaríamos considerando
gases no-colisionales que mas bien modelarían cúmulos
globulares o halos de materia oscura formados por partículas
súper simétricas con interacción débil
(WIMP's). En las configuraciones poltropicas de este tipo, el
parámetro "q" debe ser ajustado mediante observaciones o
consideraciones teóricas pertinentes a estos sistemas [23]. En
particular, las simulaciones numéricas de N cuerpos llevan a
conglomeraciones gravitacionales que exhiben un perfil de densidad que
puede ser descrito mediante formulas empíricas con
parámetros ajustables por las observaciones. Dada que los
polítropos estelares son cofiguraciones de equilibrio (aunque
idealizadas), es muy interesante verificar si el parámetro "q"
pueda ser ajustado mediante los perfiles de densidad asociados a las
simulaciones de N cuerpos. Este tipo de ajuste es una primera
aproximación a sistemas realistas, pero podría dar una
verificación empírica sobre la validez de la
formulación de Tsallis, lo cual podría dar la pauta de
como relacionar "q" con la dinámica de las partículas en
estas simulaciones [23]. Un estudio detallado de la aplicación
del formalismo de Tsallis a la dinámica de los halos
galácticos es un tema de gran interés. Cabe especular, si
la formulación de Tsallis es correcta, que los valores de este
parámetro midieran grados de relajamiento promedio de estas
partículas, o alguna otra propiedad.
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